Història dels grafos

Primer hem d'explicar què és un grafo: normalment un grafo és un conjunt d'objectes anomenats vèrtexs o nòduls units perl que anomenem arestes o arcs, que permeten representar relacions binàries entre elements d'un conjunt.

El primer article que feia referència a aquest sistema va ser publicat per Leonhard Euhler el 1736, i estava basat en el problema dels set ponts de Königsberg. Aquesta ciutat (situada a les dos marges d'un riu) té set ponts que uneixen aquestes dos riberes amb dues illes situades al riu. El problema és senzill: pots creuara tots els ponts únicament una vegada i tornar al mateix lloc? Aquest problema va tindre ocupats als matemàtics molt de temps, fins que Euhler va demostrar matemàticament que és impossible.

Abstraient aquest problema i plantejant amb la (llavors encara bàsica) "Teoria de grafos", Euhler aconsegueix demostrar que el grafo associat a l'esquema de ponts de Königsberg no té solució, és a dir, no és possible tornar al vèrtex de partida sense passar per alguna aresta 2 vegades. De fet, Eulher resol el problema més general: ¿quines condicions ha de satisfer un grafo per garantir que es pot tornar al vèrtex de partida sense passar per la mateixa aresta més d'una vegada? Si definim com "grau" al nombre de línies que es troben en un punt d'un graf, llavors la resposta al problema és que els ponts d'un poble es poden travessar exactament una vegada si, excepte un o, com a màxim dos, tots els punts tenen un grau parell.

Música i fractals

A pesar de que aparentment no tenen cap relació, la música i les matemàtiques estan íntimament lligades. Ja des del temps de Pitàgores se sap que l'harmonia de to està relacionada amb la freqüència numèrica. Moltes músiques, incloent la de Bach, Beethoven i Mozart acompleixen les normes fractals.

Posem l'exemple de Beethoven: una de les seues peces més simples, la "Primera Escossaien", baix un anàlisi formal, mostra una successió de formes (o períodes) autosemblants, en que cadascú es divideix en dos unitats inferiors.

Si ens fixem en els arcs que ens mostren els motius, podem observar que és semblant al "Conjunt de Cantor". Per tant, podem afirmar que té una estructura fractal. El Conjunt de Cantor és un fractal que es forma a partir d'un segment que dividim en tres parts, n'eliminem la del centre i repetim el procés fins l'infinit.

Els nous segments formats tenen una relació amb el segment inmediatament anterior de 1/3. Al anar fent divisions consecutives i infinites, aconseguiríem un fractal amb infinits punts, però amb distància zero.

També cal dir que les modulacions (o canvis de to dins d'una obra) es fan per mitja de seqüències numèriques, que si bé no estan relacionades amb els fractals, si que hi tenen a veure amb el nombre d'or.

Des de fa un temps, i en conseqüència de l'estudi dels fractals, s'ha vingut creant una música generada per ordinador basada en els principis dels fractals. S'utilitzen una sèrie de programes informàtics que, mitjançant la codificació i descodificació de seqüències de nombres binaris, aconsegueixen crear una música que té harmonia fractal.